Gleichungen mit Brüchen

Vorschlag für drei Strategien

Strategie 1: Wandle die Brüche in Dezimalzahlen um.

Voraussetzung: Die Brüche sind in Dezimalzahlen umwandelbar, die eine begrenzte Anzahl an Nachkommastellen haben („gute“ Nenner sind 2, 4, 5, 6 und 8).

Beispiele: = 0,5 = 0,4 = 0,375

Gegenbeispiele (diese eignen sich nicht): = 0,285714… = 0,333333…

Aufgabenbeispiel:

(2x – 4) = (-4x + 11)

0,75 (2x – 4) = 0,625 (-4x + 11,2)

1,5x – 3 = -2,5x + 7 | +3

1,5x = -2,5x +10 | +2,5x

4x = 10 | : 4

x = 2,5

Strategie 2: Multipliziere die Klammern aus und kürze die entstandenen Brüche.

Voraussetzung: Die Zahlen in der Klammer sind Vielfache der Nenner.

Beispiele: (6x – 9) " 6 und -9 sind Vielfache von 3; (-21 – 14x) " -21 und -14 sind Vielfache von 7

Gegenbeispiel (dieses eignet sich nicht): (-15x + 20) " weder -15 noch 20 sind Vielfache von 9

Aufgabenbeispiel:

(-3x + 6) = (8 – 12x)

+ = –

-x + 2 = 6 – 9x |+ 9x

8x + 2 = 6 | - 2

8x = 4 | : 8

x = 0,5

Strategie 3: Multipliziere alle Terme mit dem Hauptnenner aller Brüche in der Gleichung

Voraussetzung: Keine, funktioniert immer; aber: ist etwas komplizierter, deshalb erst mal genauer hinschauen, ob nicht Strategie 1 oder 2 schon zum Ziel führen

Aufgabenbeispiel: (die einzelnen Terme sind farbig markiert)

(5 + 4x) – 10 = 5 – (x + 8) | • 9 (9 ist der Hauptnenner der beiden Brüche)

9 • (5 + 4x) – 9 • 10 = 9 • 5 – 9 • (x + 8)

(5 + 4x) – 90 = 45 – (x + 8)

3 (5 + 4x) – 90 = 45 – 4 (x + 8)

15 + 12x – 90 = 45 – 4x – 32

12x – 75 = -4x + 13 | + 4x

16x – 75 = 13 | +75

16x = 88 | : 16

x = 5,5